行内
19\text{．已知双曲线}C:x^2-y^2=m(m>0)\text{，点}P_1(5,4)\text{在}C\text{上，}k\text{为常数，}0<k<1\text{，} \\ \text{按照如下方式依次构造点}P_n(n=2,3,\cdots )\text{，过}P_{n-1}\text{作斜率为}k\text{的直线与}C\text{的左支交于} \\ \text{点}a_{n-1}\text{，令}P_n\text{为}a_{n-1}\text{关于}y\text{轴的对称点，记}P_n\text{的坐标为}\left( x_n,y_n \right) \\ \text{（}1\text{）若}k=\frac{1}{2}\text{，求}X_2,y_2 \\ \text{（}2\text{）证明：数列}\left\{ x_n-y_n \right\} \text{是公比为}\frac{1+k}{1-k}\text{的等比数列} \\ \text{（}3\text{）设}S_n\text{为}\bigtriangleup P_nP_{n+1}P_{n+2}\text{的面积，证明：对任意的正整数}n,S_n=S_{n+1}
块级
\begin{aligned}
&\text{19. 已知双曲线 } C: x^2 - y^2 = m \ (m > 0)\text{，点 } P_1(5, 4)\text{ 在 } C\text{ 上，} k\text{ 为常数，} 0 < k < 1\text{，} \\
&\text{按照如下方式依次构造点 } P_n \ (n = 2, 3, \cdots)\text{，过 } P_{n-1}\text{ 作斜率为 } k\text{ 的直线与 } C\text{ 的左支交于} \\
&\text{点 } a_{n-1}\text{，令 } P_n\text{ 为 } a_{n-1}\text{ 关于 } y\text{ 轴的对称点，记 } P_n\text{ 的坐标为 } (x_n, y_n) \\
&\text{(1) 若 } k = \frac{1}{2}\text{，求 } x_2, y_2 \\
&\text{(2) 证明：数列 } \{x_n - y_n\} \text{ 是公比为 } \frac{1 + k}{1 - k}\text{ 的等比数列} \\
&\text{(3) 设 } S_n\text{ 为 } \triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}\text{ 的面积，证明：对任意的正整数 } n, S_n = S_{n+1}
\end{aligned}